暗黑破坏神2狂赌 二项分布与泊松分布

　　经过1周的赌戒指初步探索，我觉得这个系列足够做很长很长时间的工作了，在此把一些所思所想和大家来进行一些分享，既然选择了公开发表，那么必然就不在意各种评论，只要传达我想传达的就可以了。

　　精简版：

　　对于以94级角色赌戒指为例（其实赌戒指不需要这么高等级）：

　　）亮金戒指适合用二项分布来描述

　　）暗金戒指适合用泊松分布来描述

　　注：因为绿色戒指没用，蓝色戒指除了高mf、fcr/6lm巴哈姆特这几种其余也没用。

　　注2：概率仅供参考，并不能真实预测具体每一次的结果；说白了就是信不信随意啦啦

　　以下是推算与估计，有兴趣的朋友可以来玩味一下：

　　二项分布，也叫0-1分布，也就是通常说的“抛硬币问题”，如果说抛1次硬币，A面向上的概率是p，那么抛n次硬币，问“k次向上的概率是多少？”

　　根据二项式定理的展开式，我们很容易得到二项分布的概率公式，也就是如下：

　　式

　　一般地，二项分布针对的是n次独立试验，每次试验有且只有2个结果（A或B），且每次发生事件A的概率均为p。数学期望易得出为E=np。

　　以赌博买到亮金戒指概率为0.1为例，那么买1000个戒指，数学期望自然是E=np=100，那么获得100个亮金戒指的概率如何呢？

　　式

　　乍一看觉得很低是吗，这说明，正好买出100个亮金戒指的概率是很低的，但买出80-120个亮金戒指的概率：

　　式

　　就很高，所以概率并不预测每一次的具体结果，但是可以告诉我们大概率发生的事件是什么，也就是说如果我们买1000个戒指，获得80-120亮金戒指的概率高达97%，虽然看起来没什么用，但我们可以知道，想要人品爆炸，买出150个，200个亮金戒指或者人品败尽只有三五十个也都是几近不可能的。如果用图像表示，那么就是这样：

　　但，暗金戒指，用这种方法估计并不是一个明智的选择，理由是：

　　暗金戒指的掉率1/2000实在是一个太小的数字。

　　我们曾经在赌海鸥的文章中说过，面对1/2000的概率，如果赌2000次，那么获得海鸥得概率是1-e^-1=63.21%，也就是2/3不到，这其实是一种最初的认识。

　　参见专栏文章：赌海鸥

　　事实上，数学上，早就有人对这种二项分布中的特殊情形，“小概率事件”的二项分布进行研究，这便是大名鼎鼎，我大二一直当时没搞懂全靠死记硬背的泊松分布。

　　泊松分布实为二项分布的极限特例，它是在二项分布上作了两点近似：

　　①n→＋∞，②p→

　　即n是一个很大的数，也就是说试验次数非常非常多，而p概率是一个很小很小的数，而我们知道二项分布的数学期望是E=np，这里就定义了一个新变量，也就是泊松分布中的λ，定义为：λ=np。

　　我们从二项分布的概率公式出发：

　　式

　　展开组合数，代入λ=np，消去n，可得：

　　式

　　由于n是一个非常非常大的数，而k，也就是小概率事件发生的次数，往往是一个很小的整数，如1，2，3，4，5，6；换算到游戏里，例如“赌出1个乔丹的概率”类似这样，因此n(n-1)(n-2)···(n-k+1)可以看作是k个n的乘积，即：

　　式

　　根据幂的运算法则，回代λ=np，同时对(1-p)^(λ/p-k)进行变形：

　　式

　　我们知道，根据两个重要极限之一自然对数的底数e的定义，由于小概率事件前提“p趋向于0”，那么式7可以进一步变形为：

　　式

　　整理后，即可得到著名的泊松分布的概率公式：

　　式

　　由此，我们可以发现：

　　“刷装备”本质上是一种伯努利试验，它服从二项分布；而“刷稀有装备”本质上是二项分布的一种极限特例，用泊松分布来描述更合适。

　　从计算上说，泊松分布的计算更加简便，下面我们以以前考虑过的“1/2000概率赌海鸥匕首，赌2000次获得海鸥匕首”为例，用两种分布公式进行求解：

　　二项分布：

　　式

　　泊松分布（此例中λ=np=2000*1/2000=1）：

　　式

　　进一步可以求出，二者的误差仅为0.00015，可以说，此时使用泊松分布是很方便了。

　　下面我们来讨论一下“小概率”应该是多小，才叫小：

　　我们来讨论λ=np=1时，使用二项分布和泊松分布求解p(x>0)的结果及误差：

　　表

　　用对数坐标画图：

　　结合图2、表1可以看出：

　　）泊松分布计算出的值偏小，即小于准确值二项分布

　　）随着n不断增大，二项分布的值越来越接近泊松分布

　　）约n＞100时，图像上肉眼几乎不可见，二项分布约等于泊松分布

　　再结合误差分析，我个人的结论是：

　　我理解的小概率事件，是指发生概率＜1%（即上文n＞100）的事件

　　小概率事件用泊松分布估计更方便，概率越低，误差越小。以赌暗金物品为例(n=2000)，使用泊松分布估计误差仅为0.00015，即不到0.015%。

　　后记：

　　这篇文章算是一段时间以来的所思所想了，想起大四当初第一次看到63.21%这个结果，激动得觉得发现了新世界，结果最近重新审视，发现居然就是大二概率课上学过的泊松分布，只可惜我当时一直不理解泊松分布为什么如此，从来都是死记硬背，居然在暗黑2整出这一套，这我属实没想到。

　　回想一下暗黑2给我带来的快乐究竟在何处，我觉得这种快乐是复杂的：除了爆装备，卖货挣符文的快感；体验游戏机制似乎也让我乐在其中。

　　我希望自己可以长期验证一下这个机制，感谢大家一直以来的支持，我也会努力做出更高质量的内容回馈大家，希望大家继续支持啦

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